题目内容
四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.
(1)求该四面体的体积的最大值；
(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．
（1）
a3（2）
a2
【解析】(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，
∴VA－BCD＝VA－BPC＋VD－BPC＝
·S△BPC·AP＋
S△BPC·PD＝
·S△BPC·AD＝
·
·a
≤
·
＝a3(当且仅当x＝
a时取等号)．
∴该四面体的体积的最大值为a3.
(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为
a，
∴S表＝2×
a2＋2×
×
a×
＝
a2＋
a×
＝
a2＋
＝a2.
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