Question

【题目】已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若只有一个零点，且，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后由点斜式可得所求切线方程．（2）利用导数判断出函数的单调性和极值，进而得到函数的大体图象，然后根据函数的图象及极值判断出函数只有一个零点时参数的取值范围．

（1）当时，，

所以，

故，

又，

所以曲线在点处的切线方程为，

即．

（2）由题意得.

（i）当，即时，

则当或时，；当时，，

所以的极小值为，

因为函数的零点，且，

所以当函数只有一个零点时，需满足，

又，则或．

（ii）当，即时，则有，

所以为增函数．

又，

所以只有一个零点，且，

所以满足题意．

（iii）当，即时，

则当或时，；当时，．

所以的极小值为，极大值为，

因为，，

所以，

又，所以．

综上可得或．

实数的取值范围为．