Question

关于函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命题：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-

π

6

）；
③y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=-

5π

12

对称．
其中正确命题的序号是

②③④

．

Answer 1

分析：①函数的周期T=

2π

2

=π，函数值等于0的x之差的最小值为

T

2

，所以x₁-x₂必是的

π

2

整数倍．
②利用诱导公式进行化简判断．
③利用三角函数的图象和性质判断f（-

π

6

）=0是否成立．
④利用三角函数的图象和性质判断．

解答：解：①∵函数的周期T=

2π

2

=π，函数值等于0的x之差的最小值为

T

2

，∴x₁-x₂必是

π

2

的整数倍，∴①错误．
②f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），∴②正确．
③∵f（-

π

6

）=4sin[2×(-

π

6

)+

π

3

]=4sin（-

π

3

+

π

3

）=0，∴y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称，∴③正确．
④∵f（-

5π

12

）=4sin[2×(-

5π

12

)+

π

3

]=4sin（

π

3

-

5π

6

）=4sin（-

π

2

）=-4，为函数的最小值，∴y=f（x）的图象关于直线x=-

5π

12

对称，即④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角诱导公式，和三角函数的性质的综合应用．