Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=

3

，∠ACB=90°
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角D-PC-A的平面角的余弦值；
（3）求点B到平面PCD的距离．

Answer 1

分析：（ 1）要证BC⊥平面PAC，只需证明PA⊥BC，BC⊥AC即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到两个半平面的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可．
（3）先求出

PB

的坐标，再直接代入点到平面的距离计算公式即可．

解答：解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；（4分）
（2）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB．
又PA⊥底面ABCD，AE?面ABCD，∴PA⊥AE，（5分）
建立空间直角坐标系，如图．则

∴A(0，0，0)  P(0，0， 3 )   C( 3 2 ， 1 2 ，0)D( 3 2 ，- 1 2 ，0) ∴ AP =(0，0， 3 )      AC =( 3 2 ， 1 2 ，0) ∴ PD =( 3 2 ，- 1 2 ，- 3 ) 设面PAC法向量 n =(x，y，z)

∴ n • AC =0 n • AP =0     ∴ 3 2 x+ 1 2 y=0 3 z=0 ∴ n =( 3 ，-3，0)

设面PDC法向量

m

=(x，y，z)
∴

m • DC =0 m • DP =0

    ∴

y=0 - 3 2 x+ 1 2 y+ 3 z=0

∴

m

=(2，0，1)
∴cos＜

n

，

m

＞=

2 3

2 3 • 5

=

5

5

∴cosθ=

5

5

即二面角D-PC-A的平面角的余弦值为：

5

5

．
（3）又B（0，2，0），

PB

=（0，2，-

3

）．
由（2）取平面PCD的一个法向量

m

=（2，0，1）
∴点B到平面PCD的距离的距离为d=

| m • PB |

| m |

=

|0×2+2×0- 3 |

5

=

15

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直，二面角，点的平面的距离，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．