题目内容

已知椭圆 $数学公式$ ，满足 $数学公式$ ，若椭圆的离心率为e，则 $数学公式$ 的最小值

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
3
D.
4

B
分析：先由a $\text{[math]}$ ，及a²=b²+c²，求得椭圆离心率的范围，再利用换元法将函数y= $\text{[math]}$ 转化为函数y=t+ $\text{[math]}$ （0＜t≤ $\text{[math]}$ ），最后利用导数判断此函数的单调性，求出函数的最小值
解答：∵a $\text{[math]}$ ，∴a²≤2b²，∴a²≤2（a²-c²），即a²≥2c²，∴0＜e²≤ $\text{[math]}$
设t=e²，则y= $\text{[math]}$ =t+ $\text{[math]}$ （0＜t≤ $\text{[math]}$ ）
∵y′（t）=1- $\text{[math]}$ ＜0，
∴y=t+ $\text{[math]}$ （0＜t≤ $\text{[math]}$ ）为（0， $\text{[math]}$ ]上的减函数
∴y≥ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$
故选B
点评：本题考察了椭圆的几何性质离心率的求法，考察了特殊函数的单调性和最值的求法，注意本题的函数y=t+ $\text{[math]}$ （0＜t≤ $\text{[math]}$ ）不适合用均值定理求最值