题目内容

已知向量 $数学公式$ =（1-tanx，1）， $数学公式$ =（1+sin2x+cos2x，0），记f（x）= $数学公式$ • $数学公式$ ．
（1）求f（x）的解析式并指出它的定义域；
（2）若 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，求f（α）．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =（1-tanx，1）， $\text{[math]}$ =（1+sin2x+cos2x，0），
∴f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（1-tanx）（1+sin2x+cos2x）
= $\text{[math]}$ =2（cos²x-sin²x）=2cos2x．
定义域为 $\text{[math]}$ ．
（2）因 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ＞0，
故 $\text{[math]}$ 为锐角，于是 $\text{[math]}$ ．

∴f（α）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

分析：（1）利用向量 $\text{[math]}$ =（1-tanx，1）， $\text{[math]}$ =（1+sin2x+cos2x，0），求出f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，化简为一个角的一个三角函数的形式，就是f（x）的解析式，指出它的定义域；
（2）利用 $\text{[math]}$ ，代入函数表达式，根据 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ ，然后求f（α）．
点评：第（1）问中，必须注意tanx中x的条件限制．第（2）中，学生常会将“ $\text{[math]}$ ”展开，并结合cos²2α+sin²2α=1，求解方程组，求cos2α的值．但三角恒等变换中，“三变”应加强必要的训练．