Question

y=f（x）是定义域为R的函数，g（x）=f（x+1）+f（5-x），若函数y=g（x）有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为

8

．

Answer 1

分析：由题意，可先研究函数图象的性质，研究发现，g（4-x）=g（x），由函数的对称性知，函数f（x）关于直线x=2对称，由此知，此四零点必两两关于直线x=2对称，由此易得出四个零点的和

解答：解：由题意y=f（x）是定义域为R的函数，g（x）=f（x+1）+f（5-x），
∴g（4-x）=f（4-x+1）+f（5-4+x）=f（x+1）+f（5-x）
∴g（4-x）=g（x），
∴y=g（x）有对称轴x=2，
又函数y=g（x）有且仅有4个不同的零点，此四个零点必关于x=2对称，
故4个零点和为8．
故答案为8

点评：本题考查函数零点与方程的根的关系，函数图象的对称性，中点坐标公式等，解题的关键是由题设条件得出函数g（x）的对称性，这是求解本题的难点，函数的对称性是函数的重要性质，掌握对称性的条件是重点，重要结论：函数f（x）关于x=a对称?f（a+x）=f（a-x）?f（x）=f（2a-x）