Question

已知(x

x

+

2

3 x

)n的展开式前3项的系数的和是129．
（1）求这个展开式中x的一次方的系数；
（2）这个展开式中是否含有常数项？若有，求出该项；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出通项，求出前三项系数，列出方程求出n，令x的指数为1求出展开式中x的一次方的系数
（2）令x的指数为求常数项．

解答：解：（1）展开式的通项为Tr+1=

C

r n

(x

x

)n-r(

2

3 x

)r=

C

r n

2rx

9n-11r

6

∴展开式前3项的系数为1，C_n¹2=2n，4C_n²
∴1+2n+4C_n²=129解得n=8
令

9n-11r

6

=1
∴r=6系数为C₈⁶2⁶=1792
故展开式中x的一次方的系数1792
（2）令

9×8-11r

6

=0
即72=11r无整数解，
故无常数项．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．