Question

（2012•丹东模拟）设正有理数x是

3

的一个近似值，令y=1+

2

1+x

．
（1）若x＞

3

，求证：y＜

3

；
（2）求证：y比x更接近于

3

．

Answer 1

分析：（1）利用作差法，比较y-

3

与0的大小关系，即可得到结论；
（2）利用作差法，比较|y-

3

|-|x-

3

|与0的大小关系，即可得到结论．

解答：证明：（1）y-

3

=1+

2

1+x

-

3

=

(1- 3 )(x- 3 )

1+x

∵x＞

3

，∴x-

3

＞0，而1-

3

＜0，
∴y＜

3

；                             …（5分）
（2）∵|y-

3

|-|x-

3

|=|

(1- 3 )(x- 3 )

1+x

|-|x-

3

|=|x-

3

|×

3 -2-x

1+x

，
∵x＞0，

3

-2＜0，|x-

3

|＞0，
∴|y-

3

|-|x-

3

|＜0，即|y-

3

|＜|x-

3

|，
∴y比x更接近于

3

．             …（12分）

点评：本题考查不等式的证明，解题的关键是利用作差法，确定差的符号是关键．