Question

已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）证明：

n

k=2

1

k-f(k)

＞

3n2-n-2

n(n+1)

(n∈N+，n≥2)
（参考数据：ln2≈0.6931）

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导函数，然后根据在某点取极值的意义可知f'（1）=0，解之即可；
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，则x²-3x+lnx+b=0，设g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况，方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，则g（x）_最小值=g（1）=b-2＜0，g（

1

2

）＞0，g（2）＞0，解之即可；
（3）设Φ（x）=lnx-

1

4

（x²-1），研究函数Φ（x）在[2，+∞）上的单调性，可得Φ（x）≤Φ（2）=ln2-

3

4

＜0?lnx＜

1

4

（x²-1），从而当x≥2时，

1

lnx

＞

4

x2-1

=

4

(x+1)(x-1)

=2(

1

x-1

-

1

x+1

)，从而得到结论．

解答：解：（1）f'（x）=1-

1

x+a

，由题意，得f'（1）=0?a=0…（2分）
（2）由（1）知f（x）=x-lnx
∴f（x）+2x=x²+b     x-lnx+2x=x²+b     x²-3x+lnx+b=0
设g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0）
则g'（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

    …（4分）
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，2）	2
g'（x）	+	0	-	0	+
G（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗	b-2+ln2

当x=1时，g（x）_最小值=g（1）=b-2，g（

1

2

）=b-

5

4

-ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根
由

g( 1 2 )≥0 g(1)＜0，g(2)≥0

?

b- 5 4 -ln2≥0 b-2＜0，b-2+ln2≥0

?

5

4

+ln2≤b≤2                      （8分）
（3）∵k-f（k）=lnk
∴

1

k-f(k)

＞

3n2-n-2

n(n+1)

?

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N，n≥2）
设Φ（x）=lnx-

1

4

（x²-1）
则Φ'（x）=

1

x

-

x

2

=

2-x2

2x

=-

(x+ 2 )(x- 2 )

2x

当x≥2时，Φ'（x）＜0?函数Φ（x）在[2，+∞）上是减函数，
∴Φ（x）≤Φ（2）=ln2-

3

4

＜0?lnx＜

1

4

（x²-1）
∴当x≥2时，

1

lnx

＞

4

x2-1

=

4

(x+1)(x-1)

=2(

1

x-1

-

1

x+1

)
∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞2[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

4

-

1

6

）+…（

1

n-1

-

1

n+1

）]
=2（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）
=

3n2-n-2

n(n+1)

．
∴原不等式成立．（12分）

点评：本题主要考查函数的极值以及根的存在性及根的个数判断，同时考查了利用构造函数法证明不等式，是一道综合题，有一定的难度．