题目内容

给出下列四个命题：
①命题“?x∈R，都有x2-x+1≥
3
4
”的否定是“?x∈R，都有x2-x+1＜
3
4
”
②一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数是5；
③将函数y=cos2x图象向右平移
π
4
个单位，得到y=cos（2x-
π
4
）的图象；
④命题“设向量
a
=（4sinα，3），
b
=（2，cosα），若
a
∥
b
，则α=
π
4
”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2．
其中正确命题的序号为
 
．
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：①写出命题“?x∈R，都有x2-x+1≥
3
4
”的否定，“?x∈R，都有x2-x+1＜
3
4
”，再判断即可；
②设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，扇形中心角的弧度数是θ，则
l=Rθ=5
S=
1
2
lR=
1
2
×Rθ×R=5
，解之可判断②的真假；
③将函数y=cos2x图象向右平移
π
4
个单位，得到y=cos（2x-
π
2
）的图象，可判断③；
④
a
=（4sinα，3），
b
=（2，cosα），若
a
∥
b
⇒α=kπ+
π
4
⇒（k∈Z），从而可判断原命题的真假，继而可得其逆否命题的真假；再判断其逆命题与否命题的真假即可．
解答： 解：①命题“?x∈R，都有x2-x+1≥
3
4
”的否定是“?x∈R，都有x2-x+1＜
3
4
”，故①正确；
②设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，扇形中心角的弧度数是θ，则
l=Rθ=5
S=
1
2
lR=
1
2
×Rθ×R=5
，解得R=2，θ=
5
2
，故②错误；
③将函数y=cos2x图象向右平移
π
4
个单位，得到y=cos[2（x-
π
4
）]=cos（2x-
π
2
）的图象，故③错误；
④命题“设向量
a
=（4sinα，1），
b
=（2，cosα）”，若
a
∥
b
，则4sinαcosα-1×2=0，解得sin2α=1⇒2α=2kπ+
π
2
⇒α=kπ+
π
4
⇒（k∈Z），
故原命题为假命题，其逆否命题亦为假命题；
其逆命题为：“设向量
a
=（4sinα，1），
b
=（2，cosα），若α=
π
4
，则4sinαcosα-1×2=0，于是得
a
∥
b
，为真命题，
故原命题的否命题亦为真命题；
综上所述，愿命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2，即④正确．
故答案为：（1）（4）．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系的真假的判断，考查向量共线的坐标运算及扇形的弧长与面积公式、三角函数图象的平移变换，属于中档题．
练习册系列答案
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在△ABC中，a=12，A=60°，b=4
6
，则B=
 
．
已知复数z=1+ai（a∈R）（i是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且|z|=
5
，则a=（　　）
A、2
B、-2
C、
2
D、-
2
已知一正整数的数阵如图所示（从上至下第1行是1，第二行是3，、2，…），则自上而下，第100行第2个数是
 
．
已知函数f（x）=-ax3+x2-
ax
9
在（-∞，+∞）上是单调减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A、（-∞，-
3
]∪[
3
，+∞）
B、[-
3
，
3
]
C、[
3
，+∞）
D、（-∞，
3
]
执行如图的程序框图，若输入的P是10，则输出的结果S的值为（　　）
A、1-
1
29
B、1-
1
211
C、1-
1
210
D、10-
20
210
等差数列{an}的前n项和为Sn，S9=-9，S17=-68，在等比数列{bn}中，b5=a5，b9=a9，则b1的值为
 
．
如图，在正方体AC′中，E，F，E′，F′分别是AD，AB，B′C′，D′C′的中点．
（1）求证：EF
∥
.
.
E′F′；
（2）求直线A′D与EF所成角的大小．
若函数f（x）在R上可导，f（x）=x3+x2f′（1），则
∫
2
0
f(x)dx=
 
．

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