Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=-

1

3

是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导函数，可得f′（x）=3x²-2ax-3，利用f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，可得3x²-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，从而可求实数a的取值范围；
（2）依题意x=-

1

3

是f（x）的一个极值点，所以f′(-

1

3

)=0，从而可得f（x）=x³-4x²-3x，利用导数确定函数的单调性与极值，从而可求f（x）在[1，4]上的最大值；
（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等实根，即方程x²-4x-3-b=0有两个非零不等实根，从而可求实数b的取值范围

解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x²-2ax-3
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
即3x²-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
则必有

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0（5分）
（2）依题意x=-

1

3

是f（x）的一个极值点，∴f′(-

1

3

)=0
即

1

3

+

2

3

a-3=0
∴a=4，∴f（x）=x³-4x²-3x（6分）
令f′（x）=3x²-8x-3=0，得x1=-

1

3

，x2=3则
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	-6		-18		-12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6（10分）
（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等实根（12分）
∴x³-4x²-3x-bx=0恰有3个不等实根
∵x=0是其中一个根，
∴方程x²-4x-3-b=0有两个非零不等实根，
∴

△=16+4(3+b)＞0 -3-b≠0

∴b＞-7，且b≠-3（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数图象的交点问题，解题的关键是将函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，转化为方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等实根．