Question

（2012•安徽模拟）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：Sn=

a

a-1

(an-1)（其中a为常数且a≠0，a≠1，n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

a

a-1

(an-1)，知Sn+1=

a

a-1

(an+1-1)，利用迭代法能求出an=an．
（2）由bn=n•an，知Tn=a+2a2+3a3+…+nan，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵Sn=

a

a-1

(an-1)，
∴Sn+1=

a

a-1

(an+1-1)，
从而a_n+1=S_n+1-S_n=

a

a-1

（a_n+1-a_n），
∴a_n+1=a•a_n，
当n=1时，由Sn=

a

a-1

(an-1)，得a₁=a．
∴数列{a_n}是以a为首项，a为公比的等比数列，故an=an．
（2）由（1）得bn=n•an，
∴Tn=a+2a2+3a3+…+nan，
从而aT_n=a²+2a³+3a⁴+…+naⁿ⁺¹，
两式相减，得(1-a)Tn=a+a2+a3+…+an-naⁿ⁺¹，
∵a≠0，且a≠1，
∴(1-a)Tn=

a(1-an)

1-a

-nan+1
=

nan+2-(n+1)an+1+a

1-a

，
从而T_n=

nan+2-(n+1)an+1+a

(1-a)2

．

点评：本题考查数列的通项公式的应用，考查数列前n项和的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和错位相减法的灵活运用．