Question

（2006•丰台区二模）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长2，底面△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，D，E分别为AA₁，AB的中点．
（Ⅰ）求异面直线A₁B₁和C₁D所成的角；
（Ⅱ）求证A₁E⊥C₁D；
（Ⅲ）求点D到平面B₁C₁E的距离．

Answer 1

分析：通过建立空间直角坐标系利用向量的数量积即可得出异面直线所成的角、向量垂直、点到直线的距离．

解答：解：（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系．
则C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），E（1，1，0），A₁（0，2，2），B₁（2，0，2），C₁（0，0，2），D（0，2，1）．
∵

C1D

=（0，2，-1），

A1B1

=（2，-2，0）．
∴cos＜

C1D

，

A1B1

＞=

C1D • A1B1

| C1D | | A1B1 |

=

-4

5 × 8

=-

10

5

．
（II）∵

A1E

=(1，-1，-2)，
∴

A1E

•

C1D

=0-2+2=0，∴

A1E

⊥

C1D

，
∴A₁E⊥C₁D．
（III）∵

C1B1

=（2，0，0），

C1E

=（1，1，-2）．
设平面B₁C₁E的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • C1B1 =2x=0 n • C1E =x+y-2z=0

，令y=2，则x=0，z=1．
∴

n

=(0，2，1)．
∴点D到平面B₁C₁E的距离d=

| n • C1D |

| n |

=

3

5

=

3 5

5

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系利用向量的数量积即可得出异面直线所成的角、向量垂直、点到直线的距离等是解题的关键．