Question

设P是△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，∠BPC=2α，∠CPA=2β，∠APB=2γ，且sin²α+sin²β=sin²γ．

求证：平面PAB⊥平面ABC；

Answer 1

答案：
解析：

如图所示，取AB的中点0，连结PO．     ∵PA=PB，∴PO⊥AB，∠APO=∠BPO=．     设PA=PB=PC=a，由AB=2AO=2asin，     同理可得，AC=2asin．BC=2asin．     ∵sin2+sin2=sin2．     ∴BC2+CA2=AB2，即△ABC为直角三角形．     又P在平面ABC上的射影是△ABC的外心D，∴PO⊥平面ABC．     故平面PAB⊥平面ABC．

提示：

欲证平面PAB⊥平面ABC，需证明平面PAB内的某一条直线垂直于平面ABC，但这“某一条直线”在何处?注意到PA=PB，可取AB的中点O，只要能证明PO上平面ABC即可．