Question

已知sin(2α+β)=5sinβ,求证:2tan(α+β)=3tanα.

Answer 1

思路分析:在已知当中有2α+β角的三角函数,在要证明的三角式中含有α+β角和α角,因此要进行角的变形.

证明：∵2α+β=α+(α+β),β=(α+β)-α,

∴sin(2α+β)=sin［(α+β)+α］

=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,

而5sinβ=5sin［(α+β)-α］

=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα.

由已知得sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα

=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα.

∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα,

等式两边都除以cos(α+β)cosα,得

2tan(α+β)=3tanα.