题目内容
已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）．（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：(1+
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分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为f（x）在x=0时取得极值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；
（Ⅱ）分三种情况：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函数的递增区间；令f′（x）＜0得到函数的递减区间即可；（Ⅲ）由（2）知当a=-1时函数为减函数，所以得到ln（1+x2）＜x，利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的左边得证即可．
（Ⅱ）分三种情况：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函数的递增区间；令f′（x）＜0得到函数的递减区间即可；（Ⅲ）由（2）知当a=-1时函数为减函数，所以得到ln（1+x2）＜x，利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的左边得证即可．
解答：解：（Ⅰ）f′(x)=
+a，因为x=0是f（x）的一个极值点，∴f'（0）=0，∴a=0验证知a=0符合条件．------------2分
（Ⅱ）因为f′(x)=
+a=
1）若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
2）若
得，当a≤-1时，f′(x)≤0对x∈R恒成立，∴f（x）在R上单调递减；
3）若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0∴
＜x＜
∴f(x)在(
，
)上单调递增，
在(-∞，
)和(
，+∞)上单调递减；
综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
若-1＜a＜0时，f(x)在(
，
)上单调递增，(-∞，
)和(
，+∞)上单调递减
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．---------8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0∴ln（1+x2）＜x
∴ln[(1+
)(1+
)(1+
)…(1+
)]=ln(1+
)+ln(1+
)+…+ln(1+
)＜
+
+
+…+
=
=(1-
)＜1
∴(1+
)(1+
)…(1+
)＜e---------------------13分
| 2x |
| 1+x2 |
（Ⅱ）因为f′(x)=
| 2x |
| 1+x2 |
| ax2+2x+a |
| 1+x2 |
1）若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
2）若
|
3）若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0∴
-1+
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-1-
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| a |
-1+
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在(-∞，
-1+
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综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
若-1＜a＜0时，f(x)在(
-1+
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| a |
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| ||
| a |
-1+
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| a |
-1-
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| a |
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．---------8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0∴ln（1+x2）＜x
∴ln[(1+
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1-
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∴(1+
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点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及会用待定系数法求函数解析式，会利用单调性及对数函数运算证明不等式．会求等比数列的前n项的和．以及利用导数研究函数极值的能力．
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