Question

已知函数f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x．
（I）当x∈[0，

π

6

]时，求函数f（x）的值域；
（II）在△ABC中，若cosB=

1

3

，f(

C

2

)=-

1

4

，且C为锐角，求sinA的值．

Answer 1

（I）∵f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+  

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x
又0≤x≤

π

6

∴0≤2x≤

π

3

     0≤sin2x≤

3

2

则-

1

4

≤f(x)≤

1

2

函数f（x）的值域[-

1

4

，

1

2

]
（II）∵cosB=

1

3

∴sinB=

2 2

3

∵f(

C

2

) =

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

∴sinC=

3

2

且0°＜C＜90° 则C=60°
∴sinA=sin（120°-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB=

3

2

×

1

3

+

1

2

×

2 2

3

=

3 + 2 2

6