Question

已知函数f（x）=

x2

1+x2

，那么f（1）+f（2）+f（

1

2

）+f（3）+f（

1

3

）+f（4）+f（

1

4

）+…f（2012）+f（

1

2012

）=

4023

2

．

Answer 1

分析：根据题目给出的要求解的式子的特点，想到化简f(x)+f(

1

x

)的值，其和为1，则把x分别取2、3、…、2012，则答案可求．

解答：解：由函数f（x）=

x2

1+x2

，
则f(x)+f(

1

x

)=

x2

1+x2

+

1 x2

1+ 1 x2

=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=

1+x2

1+x2

=1．
所以，f（1）+f（2）+f（

1

2

）+f（3）+f（

1

3

）+f（4）+f（

1

4

）+…f（2012）+f（

1

2012

）
=f（1）+[f(2)+f(

1

2

)]+[f(3)+f(

1

3

)]+…+[f(2012)+f(

1

2012

)]
=

1

2

+2011=

4023

2

．
故答案为

4023

2

．

点评：本题考查了函数值的求法，解答此题的关键是分析得到规律f(x)+f(

1

x

)=1，是规律性较强的好题，属中档题．