题目内容

（1）在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C： $数学公式$ （θ为参数）与直线l： $数学公式$ （t为参数）是否有公共点，并证明你的结论．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证： $数学公式$ ．

（1）解：直线l的普通方程为x+2y-3=0． …（3分）
曲线C的普通方程为x²+4y²=4． …（3分）
由方程组 $\text{[math]}$ 得8y²-12y+5=0
因为△=-16＜0，所以曲线C与直线l没有公共点． …（4分）
（2）证法一：因为a＞0，b＞0，a+b=1，
所以（ $\text{[math]}$ ）[（2a+1）+（2b+1）]
=1+4+ $\text{[math]}$ …（5分）
≥5+2 $\text{[math]}$ =9． …（3分）
而（2a+1）+（2b+1）=4，所以 $\text{[math]}$ ．　…（2分）
证法二：因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得
（ $\text{[math]}$ ）[（2a+1）+（2b+1）]…（5分）
≥（ $\text{[math]}$ ）²=（1+2）²=9． …（3分）
由a+b=1，得（2a+1）+（2b+1）=4，
所以 $\text{[math]}$ ．　 …（2分）
分析：（1）将参数方程化为普通方程，再将直线方程代入椭圆方程，利用方程的判别式，可得结论；
（2）证法一：因为a＞0，b＞0，a+b=1，所以（ $\text{[math]}$ ）[（2a+1）+（2b+1）]，再利用基本不等式，可得结论；
证法二：因为a＞0，b＞0，（ $\text{[math]}$ ）[（2a+1）+（2b+1）]，由柯西不等式可证结论．
点评：本题考查参数方程，考查不等式的证明，解题的关键是化参数方程为普通方程，正确运用基本不等式与柯西不等式，属于中档题．