Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中点，H为平面EDB
内一点，

HC1

=（2m，-2m，-m）（m＜0）．
（1）证明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁与平面EDB所成的角；
（3）若正方体的棱长为a，求三棱锥A-EDB的体积．

Answer 1

证明：（1）设正方体的棱长为a，则

DE

={ 

a

2

 ， 0 ， a }，

DB

={ a ， a ， 0 }
∵

HC1

•

DE

=0 ， 

HC1

•

DB

=0
∴

HC1

⊥

DE

 ， 

HC1

⊥

DB

又∵DE∩DB=D
∴HC₁⊥平面EDB．
（2）

BC1

={ -a ，0 ， a }，设

BC1

与

HC1

所成的角为θ
∵cosθ=

BC1 • HC1

|  BC1 | • |  HC1 |

=

2ma+ma

2 a • 3m

=

2

2

∴θ=45°．
由（1）知HC₁⊥平面EDB
∴∠C₁BH为BC₁与平面EDB所成的角
∴∠C₁BH=90°-45°=45°
（3）VA-EDB=VE-ABD=

1

3

•

1

2

a2•a=

1

6

a3．