Question

9．已知双曲线M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}c$（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{7}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$
• D． $3\sqrt{7}$

Answer 1

分析 根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，焦点坐标为（±c，0）．利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，c关系，利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．

解答 解：双曲线双曲线M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，焦点坐标为（±c，0），其中c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$
∴一个焦点到一条渐近线的距离为d=$\frac{|±bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}c$，即7b²=2a²，
由此可得双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．
故选：C．

点评 本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与焦距的关系，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．