题目内容

已知双曲线与椭圆 $数学公式$ 的焦点重合，它们的离心率之和为 $数学公式$ ，求双曲线的方程．

解：设双曲线的方程为 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）（3分）
椭圆 $\text{[math]}$ 的半焦距 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，（6分）
两个焦点为（4，0）和（-4，0）（9分）
∴双曲线的两个焦点为（4，0）和（-4，0），离心率 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴a=2（12分）
∴b²=c²-a²=12（14分）
∴双曲线的方程为 $\text{[math]}$ （15分）
分析：设出双曲线方程，求出椭圆的离心率，可得双曲线的离心率，即可确定双曲线的几何性质，从而可得双曲线的方程．
点评：本题双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．