Question

1．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项的和为S_n，且对任意的n∈N^?，都有2S_n=a_n²+a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b₁=1，2b_n+1-b_n=0，（n∈N^?）．若c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，得a₁=1；当n≥2时，由2a_n=2S_n-2S_n-1，得a_n-a_n-1=1，从而可得结论；
（2）将2b_n+1-b_n=0变形可得b_n为等比数列，由T_n及${\frac{1}{2}T}_{n}$的表达式相减，结合等比数列的前n项和的公式即得结论．

解答 解：（1）当n=1时，由2a₁=2S₁=$a_1^2+{a_1}$，a₁＞0，得a₁=1，
当n≥2时，由2a_n=2S_n-2S_n-1=（$a_n^2$+a_n）-（$a_{n-1}^2+a_{n-1}^{\;}$），
得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
因为a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=1，
故a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）由b₁=1，$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{2}$，得b_n=${（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，则c_n=n${（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
因为 T_n=$1+2{（\frac{1}{2}）^1}+3{（\frac{1}{2}）^2}+…+n{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
所以 $\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+2{（\frac{1}{2}）^2}+…+（n-1）{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+n{（\frac{1}{2}）^n}$，
两式相减，得  $\frac{1}{2}{T_n}=1+\frac{1}{2}+{（\frac{1}{2}）^2}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}-n{（\frac{1}{2}）^n}$
=$\frac{1×[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$n（\frac{1}{2}）^{n}$
=2-（n+2）${（\frac{1}{2}）^n}$，
所以  T_n=4-（n+2）${（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项公式及前n项和的求法，注意解题方法的积累，属于中档题．