Question

已知双曲线C：=1，将C按向量a=(λ+5,λ²)平移，C的左焦点为P.

(1)求P的轨迹方程E；

(2)若曲线E的图象上存在点A、B，关于直线y=k(x+)对称，求斜率k的取值范围.

Answer 1

解：(1)由已知可求得双曲线左焦点为F(-5,0)

按a平移后为P，则+a(x,y)=(-5+λ+5,λ²)y=x².            

(2)设与已知直线y=k(x+)垂直的直线为y=x+t(t为截距),

x+t=x²x²+x-t=0,

Δ=+4t＞0t＞                                                      ①

设点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

则x₁+x₂=,代入直线y=kx+t得+t.

所以AB中点为(+t)，由对称性则将此坐标代入直线y=k(x+)得

+t=k()t=代入①得

3k³-2k²-1＞0(k-1)(3k²+k+1)＞0,

其中方程3k²+k+1=0的Δ=1-12＜0,则恒有3k²+k+1＞0,

则得k＞1,

所以E上存在A、B关于直线y=k(x+)对称时，k的取值范围是k∈(1,＋∞).