Question

已知函数f（x）=x²+2x-a-1（a为实数）g（x）=f（x）+a（x≥1），
（1）求g（x）的反函数并写出其定义域；
（2）若f（x）＜0对x∈[-2，1]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲g（x）的反函数，根据反函数的定义知，只须由方程y=g（x）反解出x后互换x，y即得．
（2）由函数f（x）的单调性知：欲使f（x）＜0，只须f（x）_max=f（1）=2-a即可，从而求出a的取值范围．

解答：解：（1）g（x）=x²+2x-1（x≥1）（1分）
∵g（x）对称轴为x=-1
∴g（x）在[1，+∞）上递增
得g（x）的值域为[2，+∞）（3分）
由y=x²+2x-1，得（x+1）²=y+2
∵x+1＞0∴x+1=

y+2

∴x=

y+2

-1（6分）
∴g-1(x)=

x+2

-1（x≥2）（8分）
（2）∵f（x）对称轴为x=-1
∴f（x）在[-2，-1]上递减，在（-1，1]上递增
∴f（x）_max=f（1）=2-a（10分）
∴2-a＜0（11分）
得a＞2（12分）

点评：本题主要考查了反函数，以及函数恒成立问题，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白求反函数的步骤．