题目内容

设函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期T，并求出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求在[0，3π）内使f（x）取到最大值的所有x的和．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ cos²x+sinxcosx- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x
=sin（2x+ $\text{[math]}$ ），…（2分）
故T=π，…（4分）
∵2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，
∴kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）…（6分）
（2）∵f（x）=1即sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=1，则2x+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ ，
∴x=kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）…（8分）
∵0≤x＜3π，
∴k=0，1，2…（10分）
∴在[0，3π）内使f（x）取到最大值的所有x的和为 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）利用两角和与差的三角函数将f（x）= $\text{[math]}$ cos²x+sinxcosx- $\text{[math]}$ 化为f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ），即可求得函数f（x）的最小正周期T及函数f（x）的单调递增区间；
（2）由f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=1可求得x，由x∈[0，3π）即可求得f（x）取到最大值的所有x的和．
点评：本题考查两角和与差的三角函数，考查正弦函数的单调性与最值，考查规范答题与运算能力，属于中档题．