Question

在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”．已知函数f（x）=1-．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；
（2）设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁≠x₂，证明：|f（x₂）-f（x₁）|＜；
（3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．

Answer 1

解：（1）显然f（x）在区间上为增函数（0，1]，
因为=====，
所以在区间（0，1]上为减函数．
所以f（x）在区间（0，1]上为“弱减函数”．

（2）证法1：要证|f（x₂）-f（x₁）|＜，不妨设0≤x₁＜x₂，
由f（x）=1-在[0，+∞）单调递增，
得f（x₂）＞f（x₁），
那么只要证f（x₂）-f（x₁）＜，
即证f（x₂）-＜f（x₁）-．
令g（x）=f（x）-，则问题转化为只要证明g（x）=f（x）-在[0，+∞）单调递减即可．
事实上，g（x）=f（x）-=1--，
当x∈[0，+∞）时，g′（x）=-≤0，
所以g（x）=f（x）-在[0，+∞）单调递减，
故命题成立．
证法2：|f（x₂）-f（x₁）|==
=，
因为x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁≠x₂，＞2，
所以|f（x₂）-f（x₁）|＜．

（3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤≤1-bx恒成立．
当x=0时，不等式显然成立．
当x∈（0，1]时，等价于恒成立．
由（1）知为减函数，1-≤＜，
所以a≥且b≤1-．
分析：（1）根据弱增函数的定义，只需证明函数f（x）在区间（0，1]上是增函数，而函数为减函数，即可；
（2）证法1：要证|f（x₂）-f（x₁）|＜，不妨设0≤x₁＜x₂，构造函数g（x）=f（x）-，利用导数证明该函数在（0，+∞）单调递减即可证明结论；
证法2：把f（x）=1-代入|f（x₂）-f（x₁）|，利用分母有理化，即可证明结论；
（3）要解）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤≤1-bx恒成立，利用分离参数转化为当x∈（0，1]时，等价于恒成立，即可求得实数a，b的取值范围．
点评：此题是个难题．考查基本初等函数的单调性，以及构造函数证明不等式和恒成立问题，综合性强，方法灵活，很好的考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．