Question

在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数

1

x

f(x)为减函数，则称函数f（x）为“弱增”函数．已知函数f(x)=1-

1

1+x

．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增”函数；
（2）设x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，证明|f(x2)-f(x1)|＜

1

2

|x2-x1|；
（3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤

1

1+x

≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）显然f（x）在区间（0，1]为增函数，化简

1

x

f(x)的解析式为

1

1+x+ 1+x

，显然是减函数，可得f（x）在区间（0，1]为“弱增”函数．
（2）化简|f（x₂）-f（x₁）|的解析式为

|x2-x1|

1+x2 1+x1 ( 1+x2 + 1+x1 )

，由，即可证得命题成立．
（3）当x∈（0，1]时，不等式等价于：

a≥ 1 x f(x) b≤ 1 x f(x)

，由

1

x

f(x)为减函数，可得1-

2

2

≤

1

x

f(x)＜

1

2

，从而求得实数a，b的取值范围．

解答：解：（1）显然f（x）在区间（0，1]为增函数，
∵

1

x

f(x)=

1

x

(1-

1

1+x

)=

1

x

1+x -1

1+x

=

1

x

x

1+x ( 1+x +1)

=

1

1+x+ 1+x

，
∴

1

x

f(x)为减函数．∴f（x）在区间（0，1]为“弱增”函数．
（2）|f(x2)-f(x1)|=|

1

1+x2

-

1

1+x1

|=

| 1+x1 - 1+x2 |

1+x2 1+x1

=

|x2-x1|

1+x2 1+x1 ( 1+x2 + 1+x1 )

，
∵x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，

1+x2

1+x1

(

1+x2

+

1+x1

)＞2，
∴|f（x₂）-f（x₁）|＜

1

2

|x2-x1|．
（3）∵当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤

1

1+x

≤1-bx恒成立． 当x=0时，不等式显然成立．
当x∈（0，1]时．等价于：

a≥ 1 x f(x) b≤ 1 x f(x)

，
由（1）

1

x

f(x)为减函数，1-

2

2

≤

1

x

f(x)＜

1

2

，∴a≥

1

2

，b≤1-

2

2

．

点评：本题考查函数的单调性的判断和证明，不等式的证明，体现了分类讨论的数学思想，得到当x∈（0，1]时．等价于：

a≥ 1 x f(x) b≤ 1 x f(x)

，是解题的难点．