题目内容

长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知二面角A1-BD-A的大小为
π
6
，若空间有一条直线l与直线CC1，所成的角为
π
4
，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是（　　）
A、[
π
12
，
7π
12
]
B、[
π
12
，
π
2
]
C、[
π
12
，
5π
12
]
D、[0，
π
2
]
考点：直线与平面所成的角
专题：空间位置关系与距离
分析：如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A1O，由三垂线定理可得BD⊥A1O，则∠AOA1为二面角A1-BD-A的平面角．把直线l平移到AM，则∠A1AM=∠MAO=
π
4
．过点A作AP⊥A1O，则AP⊥平面A1BD．利用线面角的定义可得：AM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为∠AMA1．假设∠A1AN=
π
4
，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为∠ANP．
解答： 解：如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A1O，由三垂线定理可得BD⊥A1O，则∠AOA1为二面角A1-BD-A的平面角，∴∠AOA1=
π
6
．
把直线l平移到AM，则∠A1AM=∠MAO=
π
4
．
过点A作AP⊥A1O，则AP⊥平面A1BD．
∴AM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为∠AMA1=∠MAO+∠MOA=
π
4
+
π
6
=
5π
12
．
假设∠A1AN=
π
4
，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为
∠ANP=∠PA1A-∠A1AN=
π
3
-
π
4
=
π
12
．
∴直线l与平面A1BD所成角的取值范围是[
π
12
，
5π
12
]．
故选：C．
点评：本题考查了二面角的平面角、线面角、三垂线定理、异面直线所成的角，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
计算：
（1）cos（-
79
6
π）
（2）sin（α+180°）cos（-α）sin（-α-180°）
（3）cos（-
π
6
）
（4）sin（-
5
3
π）
在△ABC中，A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知b=
7
，c=2，B=
π
3
，则a=
 
．
位于坐标原点的一个支点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位：移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是0.5，质点P移动6次后位于点（2，4）的概率为（　　）
A、（
1
2
）6
B、C
 
2
6
（
1
2
）6
C、C
 
2
6
（
1
2
）2
D、C
 
2
6
C
 
4
6
（
1
2
）6
定义在R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（　　）
A、5B、-5C、0D、3
若直线y=k（x+4）与曲线x=
4-y2
有交点，则k的取值范围是（　　）
A、[-
1
2
，
1
2
]
B、（-∞，-
1
2
）∪（
1
2
，+∞）
C、[-
3
3
，
3
3
]
D、（-∞，-
3
3
]∪[
3
3
，+∞）
设数列{an}为等比数列，且a1+a2=3，a4+a5=24
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=log2an+1，设{
1
bnbn+1
}的前n项和为Sn，若Sn=
2014
2015
，求n．
三个变量y1，y2，y3随x的变化情况如下表：
x1.003.005.007.009.0011.00
y15135625171536456655
y2529245218919685177149
y35.006.106.616.957.207.40
三个变量y1，y2，y3中，变量
 
随x呈对数函数型变化，变量
 
随x呈指数函数型变化，变量
 
随x呈幂函数变化．
已知cos（
π
4
-a）=
3
5
，-
3π
2
＜α＜-
π
2
，求cos（2α-
π
4
）的值．

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