题目内容

平面内有向量 $数学公式$ =（1，7）， $数学公式$ =（5，1）， $数学公式$ =（2，1），点X为直线OP上的一个动点．
（1）当 $数学公式$ • $数学公式$ 取最小值时，求 $数学公式$ 的坐标；
（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．

解：（1）设 $\text{[math]}$ =（x，y），
∵点X在直线OP上，∴向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线．
又 $\text{[math]}$ =（2，1），∴x-2y=0，即x=2y．
∴ $\text{[math]}$ =（2y，y）．又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（1，7），
∴ $\text{[math]}$ =（1-2y，7-y）．
同样 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（5-2y，1-y）．
于是 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y²-20y+12=5（y-2）²-8．
∴当y=2时， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 有最小值-8，此时 $\text{[math]}$ =（4，2）．
（2）当 $\text{[math]}$ =（4，2），即y=2时，有 $\text{[math]}$ =（-3，5）， $\text{[math]}$ =（1，-1）．
∴| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ．
∴cos∠AXB= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）因为点X在直线OP上，向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，可以得到关于 $\text{[math]}$ 坐标的一个关系式，再根据 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最小值，求得 $\text{[math]}$ 的坐标，
（2）cos∠AXB是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦，利用数量积的知识易解决．
点评：（1）中求最值问题可转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数；也可以利用 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 反向时， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 有最小值进行求解．而（2）中即为数量积定义的应用．