Question

已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A满足，N为AF的中点，点M在线段AE上，．
（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；
（Ⅱ）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数m的范围．

Answer 1

【答案】分析：对于（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程，就是找点M所满足的条件，把点M所满足的几何约束条件转化为代数等式．
对于（Ⅱ）由已知的向量等式转化为代数等式，消y用λ的范围来求实数m的范围．
解答：解：（Ⅰ）∵N为AF的中点，且，
∴MN垂直平分AF．（1分）
又点M在线段AE上，
∴．．
∵，（4分）
∴点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴a=3，
半焦距c=1．（5分）
∴b²=a²-c²=3²-1=8．
∴点M的轨迹W的方程为．（7分）
（Ⅱ）设Q（x₁，y₁），
∵，，
∴∴（9分）
由点P、Q均在椭圆W上，
∴（11分）
消去y并整理，得，
∵，∴．
解得2≤m≤4．（14分）
点评：向量的坐标表示，实际是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，可使向量运算完全代数化，将数与形紧密的结合了起来