Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1处有极值，f（x）在x=2处的切线l不过第四象限且倾斜角为

π

4

，坐标原点到切线l的距离为

2

2

．
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求函数y=f(x)在区间[-1，

3

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数的导函数，再根据在x=1处有极值得到f'（1）=0，而f（x）在x=2处的切线l的倾斜角为

π

4

得到f'（2）=1，建立两个等式关系解之即可；
（Ⅱ）先求出x∈[-1，

3

2

]上的极值，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f′（x）=3x²+2ax+b．
∵x=1时f（x）有极值，∴f′（1）=3+2a+b=0．①
∵f（x）在x=2处的切线l的倾斜角为

π

4

，
∴f′(2)=12+4a+b=tan

π

4

=1.②
由①②可解得a=-4，b=5．（4分）
设切线l的方程为y=x+m，由坐标原点（0，0）到切线l的距离为

2

2

，可得m=±1，
又切线不过第四象限，所以m=1，切线方程为y=x+1．（6分）
∴切点坐标为（2，3），∴f（2）=8-16+10+c=3，所以c=1．
故a=-4，b=5，c=1．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³-4x²+5x+1，f′（x）=3x²-8x+5=（x-1）（3x-5）．
∵x∈[-1，

3

2

]，∴函数f（x）在区间[-1，1]上递增，在(1，

3

2

]上递减，（9分）
又f(-1)=-9，f(1)=3，f(

3

2

)=

23

8

，（12分）
∴f（x）在区间[-1，

3

2

]上的最大值为3，最小值为-9．（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值及其几何意义，属于基础题．