Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）.

（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）重心为G的轨迹方程为

（Ⅱ）△AOB的面积存在最小值，最小值是1。

【解析】试题分析：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则   （1）

∵OA⊥OB ∴,即，(2)

又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得

∴

所以重心为G的轨迹方程为

（2）

由（I）得

当且仅当即时，等号成立。

所以△AOB的面积存在最小值，最小值是1。

考点：本题主要考查了轨迹方程的求法、重心定理的应用及基本不等式的应用。

点评：本题综合性强既考查了学生的计算能力，又兼顾了知识的综合应用。（1）中给的是A、B的条件，要求重心G的轨迹方程，先化简A、B的关系式，再利用重心定理找到G点坐标与AB坐标的关系，化简出G的轨迹方程；（2）在求最值时。常用求导和基本不等式来求，本题中具备为定值这一条件，所以选择用基本不等式求解，注意等号成立的条件的应用。