Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a²+c²=2b²．
（Ⅰ）若B=

π

4

，且A为钝角，求内角A与C的大小；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦的关系，再由两角和与差的正弦公式进而可求角C的正弦值，根据A钝角，B，C为锐角可求A，C的值．
（2）先由余弦定理确定cosB的范围，在表示出三角形的面积根据基本不等式可求出△ABC面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有sin²A+sin²C=2sin²B=1．
故sin²C=cos²A．因A为钝角，所以sinC=-cosA．
由cosA=cos(π-

π

4

-C)，可得sinC=sin(

π

4

-C)，得C=

π

8

，A=

5π

8

．
（Ⅱ）由余弦定理及条件b2=

1

2

(a2+c2)，有cosB=

a2+c2

4ac

，故cosB≥

1

2

．
由于△ABC面积=

1

2

acsinB，
又ac≤

1

2

(a2+c2)=4，sinB≤

3

2

，
当a=c时，两个不等式中等号同时成立，
所以△ABC面积的最大值为

1

2

×4×

3

2

=

3

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形时，一般都要用到这两个定理，一定要熟练掌握．