Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=-an-(

1

2

)n-1+2（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令cn=

n+1

n

an，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n的值．

Answer 1

分析：（1）在Sn=-an-(

1

2

)n-1+2中，令n=1，得a1=

1

2

．当n≥2时，Sn-1=-an-1-(

1

2

)n-2+2，所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1，由b_n=2ⁿa_n，知b_n=b_n-1+1，即当n≥2时，b_n-b_n-1=1．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，知Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n，由错位相减法能够求出T_n的值．

解答：解：（1）在Sn=-an-(

1

2

)n-1+2中，
令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，
即a1=

1

2

当n≥2时，Sn-1=-an-1-(

1

2

)n-2+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1，
∴2an=an-1+(

1

2

)n-1，即2nan=2n-1an-1+1．
∵b_n=2ⁿa_n，∴b_n=b_n-1+1，
即当n≥2时，b_n-b_n-1=1．
又b₁=2a₁=1，
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，
∴an=

n

2n

．
（2）由（1）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，
所以Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+(n+1)(

1

2

)n+1
由①-②得

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1

=1+ 1 4 [1-( 1 2 )n-1] 1- 1 2 -(n+1)( 1 2 )n+1= 3 2 - n+3 2n+1 ∴Tn=3- n+3 2n

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．