题目内容

设f（x）是定义在R上的一个给定的函数，函数 $数学公式$ （x≠0，1）
（1）当f（x）=1时，求g（x）；　
（2）当 f（x）=x时，求g（x）．

解：（1）当f（x）=1时，g（x）= $\text{[math]}$ （1-x）ⁿ+ $\text{[math]}$ （1-x）^n-1•x+…+ $\text{[math]}$ （1-x）⁰•xⁿ
=[（1-x）+x]ⁿ
=1；
（2）∵f（x）=x时，g（x）的通项中的二项式系数为： $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴g（x）= $\text{[math]}$ •（1-x）^n-1•x+ $\text{[math]}$ •（1-x）^n-2•x•x+ $\text{[math]}$ •（1-x）^n-3•x²•x+…+ $\text{[math]}$ •（1-x）^{（n-1）-（r-1）}•x^r-1•x+…+ $\text{[math]}$ •（1-x）⁰•x^n-1•x
=x[ $\text{[math]}$ •（1-x）^n-1+ $\text{[math]}$ •（1-x）^n-2•x+ $\text{[math]}$ •（1-x）^n-3•x²+…+ $\text{[math]}$ •（1-x）^{（n-1）-（r-1）}•x^r-1+…+ $\text{[math]}$ •（1-x）⁰•x^n-1]
=x[（1-x）+x]^n-1
=x．
分析：（1）当f（x）=1时，g（x）= $\text{[math]}$ （1-x）ⁿ+ $\text{[math]}$ （1-x）^n-1•x+…+ $\text{[math]}$ （1-x）⁰•xⁿ=[（1-x）+x]ⁿ，从而可得答案；
（2）当 f（x）=x时，g（x）的通项中的二项式系数可化为： $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，逆用二项式定理即可得到g（x）的表达式．
点评：本题考察二项式定理的应用，逆用二项式定理是解决问题的关键，求得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 是基础，考察学生观察问题、分析问题、解决问题的综合素质，属于难题．