Question

【题目】如图，已知三棱柱，侧面为菱形，.

（1）求证：平面；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）由为菱形，得，又由，连接，得，即可证明平面；（2）法一：证明得到进一步证得，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立坐标系求平面的法向量与平面的法向量，利用二面角向量公式求解即可；法二：证明得到设，得，因此为等腰三角形，证得也为等腰三角形，取的中点，连接，则为二面角的平面角，在中，运用余弦定理求解角即可.

（1）因为侧面为菱形，所以，

因为，连接，所以，，

所以平面

（2）解法一：

因为，则

所以，又，可得

，，

令，则，

如图，

以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立坐标系．

设平面的法向量为

，令，则

同理平面的法向量为,

所以，二面角的余弦值为

（2）解法二：

因为，则

所以，设，因为，侧面为菱形，所以，

又因为，可得， 所以，因此为等腰三角形，

那么也为等腰三角形，取的中点，连接，则为二面角的平面角

在中，可得

所以

所以，二面角的余弦值为