题目内容
在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果满足条件（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），且A≠B，求证：△ABC是直角三角形．
证明：原式化为 a2[sin（A-B）-sin（A+B）=-b2[sin（A-B）+sin（A+B）]，
即 a2[sin（A+B）-sin（A-B）=b2[sin（A-B）+sin（A+B）]，
故 2a2cosA•sinB=2b2sinAcosB，由正弦定理可得 sin2AcosA•sinB=2sin2BsinAcosB，
∵0＜B＜π，0＜A＜π，∴sinA≠0，sinB≠0，∴sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，
sin2A-sin2B=0，∴2cos（A+B）•sin（A-B）=0．
∵A-B≠0，∴sin（A-B）≠0，∴cos（A+B）=0，故-cosC=0，∴C=90°，∴△ABC是直角三角形．
即 a2[sin（A+B）-sin（A-B）=b2[sin（A-B）+sin（A+B）]，
故 2a2cosA•sinB=2b2sinAcosB，由正弦定理可得 sin2AcosA•sinB=2sin2BsinAcosB，
∵0＜B＜π，0＜A＜π，∴sinA≠0，sinB≠0，∴sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，
sin2A-sin2B=0，∴2cos（A+B）•sin（A-B）=0．
∵A-B≠0，∴sin（A-B）≠0，∴cos（A+B）=0，故-cosC=0，∴C=90°，∴△ABC是直角三角形．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（ ）
A、
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| B、1 | ||||
C、
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D、
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