题目内容

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1）
（Ⅰ）设b_n=a_n-1（n=1，2，3…），求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅲ）设 $数学公式$ ，求证：数列{c_n}的前n项和 $数学公式$ ．

（Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n-1（n≥1）
∴两边同时减去1，得a_n+1-1=2（a_n-1）
又a₁-1=2，b_n=a_n-1
∴{b_n}是以a₁-1=2为首项，q=2为公比的等比数列，
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a_n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+1（n∈N^*）
（Ⅲ）证明： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴S_n=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）将a_n+1=2a_n-1转化a_n+1-1=2（a_n-1），即可证得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ），即可求数列{a_n}的通项公式
（Ⅲ）利用裂项法求和，即可得到结论．
点评：本题考查等比数列定义，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．