Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点在同一球面上，且任意两个顶点的球面距离的最大值和最小值分别为2π和，则正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为    ．

Answer 1

【答案】分析：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD边长为1，高AA₁=，它的八个顶点都在同一球面上，那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线长为球的直径，中点O为球心．则易得球的半径． 根据球面距离的定义，应先算出球面两点对球心的张角，再乘以球的半径即可．
解答：解：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的八个顶点都在同一球面上，
那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线长为球的直径，中点O为球心．
设球的半径为R，
任意两个顶点的球面距离的最大值即为正四棱柱对角线AC₁上两个端点之间的球面距离，∴πR=2π，⇒R=2，则球的半径为2．
正四棱柱对角线AC₁=4，
由于任意两个顶点的球面距离的最小值分别为，
①当A、B两点的球面距离为时，
根据球面距离的定义，可得∠AOB=；
则AB=R=2，∴BB₁=，
则正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V=2×2×=8；
②当B₁、B两点的球面距离为时，
根据球面距离的定义，可得∠B₁OB=；
则B₁B=R=2，∴AB=，
则正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V=××2=12；
故答案为：8或12．
点评：本题主要考查了球内接多面体．
（1）涉及到多面体与球相关的“切”“接”问题时，关键是抓住球心的位置．球心是球的灵魂．
（2）根据球面距离的定义，应先算出球面两点对球心的张角，再乘以球的半径．这是通性通法．