Question

【题目】

已知函数，其中，记函数的定义域为.

（1）求函数的定义域；

（2）若函数的最大值为，求的值；

（3）若对于内的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) .

【解析】分析：（1）根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于自变量的不等式组，即可求解函数的定义域；

（2）利用对数函数的运算性质，化简函数的解析式，并根据二次函数的图象与性质，可分析出函数的最小值为时，即可求解实数的值.

（3）若不等式恒成立，即在上恒成立，设出新函数，利用基本不等式求解最大值，即可求解实数的取值范围.

详解：（1）要使函数有意义：则有，解得－2＜x＜1

∴ 函数的定义域为

（2）

因为

所以

因为，所以，

即，

由，得，

（3）由在恒成立，

得

因为，所以

所以在恒成立

设，令

则

即，因为，

所以（当且仅当时，取等号

所以

所以