Question

【题目】已知函数 是自然对数的底数， .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若 为整数， ，且当 时， 恒成立，其中 为 的导函数，求 的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解： .

若 ，则 恒成立，所以， 在区间 上单调递增

若 ，当 时， ， 在 上单调递增.

综上，当 时， 的增区间为 ；当 时， 的增区间为

（2）解：由于 ，所以，

当 时， ，故 ————①

令 ，则

函数 在 上单调递增，而

所以 在 上存在唯一的零点，

故 在 上存在唯一的零点.

设此零点为 ，则 .

当 时， ；当 时， ；

所以， 在 上的最小值为 .由 可得

所以， 由于①式等价于 .

故整数 的最大值为2.

【解析】(1)根据题意求出导函数讨论a的取值范围即可得出函数的增区间。(2)由已知运用参数分离可得求出导函数利用导函数的性质即可得到原函数的单调区间，再运用零点存在定理即可求得k的最大值。
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．