Question

已知△ABC为正三角形，点A，B为椭圆的焦点，点C为椭圆一顶点，则该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  4

• C．

  3

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：不妨设正三角形ABC的边长为2，依题意可求得对应的椭圆的短半轴，长半轴及焦距，从而可求得该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比．

解答：解：不妨设正三角形ABC的边长为2，以AB所在的边为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
则以A，B为椭圆的焦点，点C为椭圆一顶点的椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
依题意，a=2，c=1，
∴b=

22-11

=

3

，
∴椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1，
∴椭圆的四个顶点连成的菱形的面积S=

1

2

×2a×2b=2ab=4

3

；
又S_△ABC=

1

2

|AB|•|AC|•sin60°=

3

，
∴该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为

3

4 3

=

1

4

．
故选B．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查转化与运算的能力，求得椭圆的短半轴，长半轴及焦距是关键，属于中档题．