Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，-bcosB，ccosA成等差数列．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2

7

，S△ABC=2

3

，求a，c的长．

Answer 1

分析：（I）由acosC，-bcosB，ccosA成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再利用正弦定理，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0，两边同时除以sinB，可得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB及已知的面积代入求出ac的值，记作方程①，然后再利用余弦定理表示出cosB，把b，ac及cosB的值代入，求出a²+c²的值，并利用完全平方公式及ac的值求出a+c的值，记作方程②，联立①②即可求出a与c的值．

解答：解：（I）∵acosC，-bcosB，ccosA成等差数列，
∴-2bcosB=acosC+ccosA，
利用正弦定理化简得：-2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），
又sin（A+C）=sin（π-B）=sinB，
∴-2sinBcosB=sinB，
又B为三角形的内角，∴sinB≠0，
∴cosB=-

1

2

，
则B=

2π

3

；
（Ⅱ）∵B=

2π

3

，∴sinB=

3

2

，
又S_△ABC

1

2

acsinB=2

3

，
∴ac=8①，
又b=2

7

，cosB=-

1

2

，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-28

16

=-

1

2

，
可得：a²+c²=20，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=20+16=36，
∴a+c=6②，
联立①②解得：a=2，c=4或a=4，c=2，
则a=2，c=4或a=4，c=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，完全平方公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．