Question

【题目】已知函数．

(1)当，求的单调区间；

(2)若有两个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)将a=1代入函数，再求导即可得单调区间；(2)法一：先对函数求导：当时，在上是减函数，在上是增函数，且x=1为的极值点，当 所以，，当，所以此时有两个零点；当时，函数只有一个零点；当时，再分成三种情况， ，三种情况进行讨论，最后取并集即得a的范围。法二：分离参变量，每一个a对应两个x，根据新构造的函数单调性和值域，找到相应满足条件的a的范围即可。

(1) 当

令，可得，

当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增。

所以函数减区间在区间，增区间

(2) 法一：函数定义域为，，

则

⑴当时，令可得，

当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增。

且，当；当 所以

所以有两个零点.，符合

⑵当，只有一个零点2，所以舍

⑶设，由得或，

①若，则，所以在单调递增，所以零点至多一个.（舍）

②若，则，故时，，当时，，所以在，单调递增，在单调递减。又，要想函数有两个零点，必须有，其中.

又因为当时，，所以

故只有一个零点，舍

③若，则，故时，，；当时，，所以在，单调递增，在单调递减。又极大值点，所以只有一个零点在（舍）

综上，的取值范围为。

法二：

，所以不是零点.

由，变形可得.

令，则，

即.

当，；当，.

所以在递增；在递减.

当时,,当时，.所以当时，值域为.

当时,,当时，.所以当时，值域为.

因为有两个零点，故的取值范围是

故的取值范围是.