题目内容

已知向量
a
=（x，1），
b
=（2，3x），则
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
的最大值是
2
4
2
4
．
分析：由题意和向量的数量积求出
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
的表达式，再对x分类，分别求出x≠0和x＜0时
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
的值或范围；当x＞0时对式子化简后，利用基本不等式得2x+
1
x
≥2
2
，代入后求出
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
的最大值，即得答案．
解答：解：∵
a
=（x，1），
b
=（2，3x），
∴
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
=
2x+3x
x2+1+4+9x2
=
5x
10x2+5
=
x
2x2+1
，
当x=0时，
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
=0；
当x≠0时，①x＜0时，
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
＜0，
②x＞0时，
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
=
x
2x2+1
=
1
2x+
1
x
，
∵x＞0，∴2x+
1
x
≥2
2
当且仅当2x=
1
x
时取等号，
∴
1
2x+
1
x
≤
1
2
2
=
2
4
，
综上得，
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
的最大值是
2
4
，
故答案为：
2
4
．
点评：本题是向量和函数结合的题型，考查了向量的数量积运算，基本不等式求函数的最值，以及分类讨论思想．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinωx，1)，
b
=(
3
，cosωx)，ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
，若f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）若x∈(0，
π
3
]，求此时函数f（x）的值域．
已知向量
a
=（x，1，0），
b
=（1，2，3），若
a
⊥
b
，则x=
-2
-2
．
已知向量
a
=（x，1），
b
=（4，x）且
a
与
b
的夹角为π，则x=（　　）
已知向量
a
=(sin(π-x)，1)，
b
=(cos(-x)，
1
3
)．
（1）若
a
∥
b
，求tanx；
（2）若f（x）=
a
•
b
，求f（x）的最小正周期及f（x）的值域．
已知向量
a
=（x，1），
b
=（4，x），若向量
a
和
b
方向相同，则实数x的值是（　　）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网