Question

已知点A、B的距离为2，以B为圆心作半径为22的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时点M的轨迹记为曲线C．

（1）建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线；

（2）试判断l与曲线C的位置关系，并加以证明．

Answer 1

解：（1）以AB中点为原点，直线AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A（－1,0），B（1,0） .

设M（x,y）,由题意：|MP|=|MA|,|BP|=，所以|MB|+|MA|=.

故曲线C是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆，

其方程为x²+2y²=2.

（2）直线l与曲线C的位置关系是相切.证明如下:

由（1）知曲线C方程为x²+2y²=2，设P(m,n)，则P在⊙B上，

故(m-1)²+n²=8，即m²+n²=7+2m .

当P、A、B共线时，直线l的方程为x=±，显然结论成立.

当P、A、B不共线时，直线l的方程为y-，

整理得，y=－.

(x-)＋＝.

把直线l的方程代入曲线C方程得x²+2（）²＝2.

整理得，[n²+2(m+1)2]x²-4(m+1)·(m+3)x+2(m+3)²-2n²=0.

判别式Δ＝[4(m+1)(m+3)]²-4[n²+2(m+1)²] [2(m+3)²-2n²]= -8n²·[(m+3)²-n²-2(m+1)2]

=-8n²[-m²-n²+2m+7]=0,

∴直线l与曲线C相切.

另证：在直线l上任取一点M′，连结M′A、M′B、MA，

由垂直平分线的性质得|M′A|=|M′P|，

∴|M′A|+|M′B|＝|M′P|+|M′B|≥｜PB｜＝（当且仅当M、M′重合时取”=”）.

∴直线l与椭圆C有且仅有一个公共点M.

结论得证.