题目内容

过椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1的左焦点F作椭圆的弦AB．如图
（1）求此椭圆的左焦点F的坐标和椭圆的准线方程（x=± $数学公式$ ）；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

解：（1）由方程知 a= $\text{[math]}$ ，b=2，故左焦点F（-1，0），
离心率 e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）设M（x，y），A（ x₁，y₁ ），B（x₂，y₂ ），直线AB方程为 y=k（x+1），
由 $\text{[math]}$ 消y得：（4+5k²）x²+10k² x+5k-20=0，
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，因为M是AB中点，有 x= $\text{[math]}$ ，
∴x= $\text{[math]}$ ，∴k²= $\text{[math]}$ ，
又由 y=k（x+1）可得 y²=k²（x+1）²，∴y²= $\text{[math]}$ （x+1）²，
∴5y²=-4x（x+1），即 4x²+4x+5y²=0，即 4 $\text{[math]}$ +5y²=1，
当直线AB的斜率k不存在时，AB⊥x轴，AB中点M 的坐标为（-1，0），也适合上述方程，
故 4 $\text{[math]}$ +5y²=1 为所求．
分析：（1）由方程知 a= $\text{[math]}$ ，b=2，从而求得焦点坐标和离心率的值．
（2）由 $\text{[math]}$ 消y得：（4+5k²）x²+10k² x+5k-20=0，故 x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，再由中点公式得x= $\text{[math]}$ ，又由 y=k（x+1）可得 4x²+4x+5y²=0，即为所求．
点评：本题考查点轨迹方程的求法，椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，得到 y²= $\text{[math]}$ （x+1）²，是解题的关键．