Question

（2013•泰安二模）已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，点M是椭圆上的任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=4，椭圆的离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆E的左焦点F₁作直线l交椭圆于P、Q两点，点A为椭圆右顶点，能否存在这样的直线，使

AP

•

AQ

=3，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆的定义、离心率计算公式及a²=b²+c²即可得出；
（II）先对直线l的斜率讨论，把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及向量的数量积运算即可得出．

解答：解：（I）由题意可得

|MF1|+|MF2|=4=2a e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得

a=2，c=1 b2=3

．
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）若直线l⊥x轴，则P(-1，

3

2

)，Q(-1，-

3

2

)，
又A（2，0），∴

AP

=(-3，

3

2

)，

AQ

=(-3，-

3

2

)，
∴

AP

•

AQ

=9-

9

4

=

27

4

≠3，此时不满足条件，直线l不存在．
当直线l的斜率存在时，设直线ld的方程为：y=k（x+1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y得到（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

-8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∵

AP

=(x1-2，y1)，

AQ

=(x2-2，y2)．
∴

AP

•

AQ

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（x₁-2）（x₂-2）+k（x₁+1）•k（x₂+1）=3．
∴(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+1=0，
∴

(1+k2)(4k2-12)

3+4k2

-

8k2(k2-2)

3+4k2

+k2+1=0，
解得k=±

15

5

．
∴满足条件的直线l存在，其方程为y=±

15

5

(x+1)．

点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立及根与系数的关系、数量积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．